حساب المساحات: المستطيلات والمثلثات والوحدات.

الفصل الثالث: حساب المساحات: المستطيلات والمثلثات والوحدات❓

مقدمة

في هذا الفصل، سنتعمق في مفهوم المساحة وكيفية حسابها للأشكال الهندسية الأساسية: المستطيلات والمثلثات. سنستكشف النظريات والمبادئ العلمية التي تقوم عليها هذه الحسابات، مع التركيز على الدقة في استخدام الوحدات والتحويل بينها. بالإضافة إلى ذلك، سنقدم أمثلة عملية وتجارب بسيطة لتوضيح كيفية تطبيق هذه المفاهيم في الحياة اليومية والهندسة.

1. المساحة: مفهوم أساسي

المساحة هي قياس ثنائي الأبعاد يحدد حجم المنطقة المحصورة داخل حدود شكل معين. بمعنى آخر، هي مقدار السطح الذي يغطيه هذا الشكل. لحساب المساحة، نستخدم وحدات مربعة، مثل السنتيمتر المربع (cm²) أو المتر المربع (m²)، والتي تمثل مساحة مربع طول ضلعه وحدة واحدة.

2. مساحة المستطيل

المستطيل هو شكل رباعي الأضلاع تكون فيه كل زاويتين متقابلتين متطابقتين وكل زاوية قياسها 90 درجة. لحساب مساحة المستطيل، نضرب طوله في عرضه.

• الصيغة الرياضية:

  <a data-bs-toggle="modal" data-bs-target="#questionModal-10587" role="button" aria-label="Open Question" class="keyword-wrapper question-trigger"><span class="keyword-container">A = <a data-bs-toggle="modal" data-bs-target="#questionModal-154182" role="button" aria-label="Open Question" class="keyword-wrapper question-trigger"><span class="keyword-container">l x w</span><span class="flag-trigger">❓</span></a></span><span class="flag-trigger">❓</span></a>

  حيث:

  • A تمثل المساحة (Area).
  • L تمثل الطول (Length).
  • W تمثل العرض (Width).
  • شرح المبدأ العلمي:
    يمكن تصور مساحة المستطيل على أنها عدد المربعات الصغيرة المتساوية التي تغطي سطحه بالكامل. إذا كان لدينا مستطيل طوله 5 وحدات وعرضه 3❓ وحدات، فهذا يعني أنه يمكننا تقسيم سطحه إلى 5 صفوف، كل صف يحتوي على 3 مربعات صغيرة. وبالتالي، فإن العدد الإجمالي للمربعات الصغيرة هو 5 × 3 = 15 مربعًا.
  • مثال تطبيقي:

  لنفترض أن لدينا قطعة أرض مستطيلة الشكل، طولها 20 مترًا وعرضها 10 أمتار. لحساب مساحة هذه القطعة، نستخدم الصيغة:

  A = L x W = 20 m x 10 m = 200 m²

  إذن، مساحة قطعة الأرض هي 200 متر مربع.
  * تجربة بسيطة:

  1. ارسم مستطيلاً على ورقة مقسمة إلى مربعات صغيرة.
  2. قم بعد المربعات الصغيرة التي تغطي سطح المستطيل.
  3. قارن النتيجة بحساب المساحة باستخدام الصيغة (الطول × العرض).

3. وحدات المساحة والتحويل بينها

تُقاس المساحة بوحدات مربعة، مثل:

• البوصة المربعة (in²): مساحة مربع طول ضلعه 1 بوصة.
• القدم المربعة (ft²): مساحة مربع طول ضلعه 1 قدم (12 بوصة).
• الياردة المربعة (yd²): مساحة مربع طول ضلعه 1 ياردة (3 أقدام).
• الميل المربع (mi²): مساحة مربع طول ضلعه 1 ميل.
• الفدان (acre): وحدة مساحة تستخدم بشكل شائع في الزراعة، وتساوي 43,56❓0 قدم مربع.
• السنتيمتر المربع (cm²): مساحة مربع طول ضلعه 1 سنتيمتر.
• المتر المربع (m²): مساحة مربع طول ضلعه 1 متر (100 سنتيمتر).
• الكيلومتر المربع (km²): مساحة مربع طول ضلعه 1 كيلومتر (1000 متر).

التحويل بين الوحدات:

عند حساب المساحات، من الضروري التأكد من أن جميع الأبعاد معبر عنها بنفس الوحدة. إذا كانت الأبعاد بوحدات مختلفة، يجب تحويلها إلى وحدة مشتركة قبل إجراء الحسابات.

• تحويل القدم المربع إلى الياردة المربعة:

  بما أن الياردة الواحدة تساوي 3 أقدام، فإن الياردة المربعة الواحدة تساوي 3 أقدام × 3 أقدام = 9 أقدام مربعة.

  عدد الياردات المربعة = عدد الأقدام المربعة / 9

• تحويل الياردة المربعة إلى القدم المربعة:

  عدد الأقدام المربعة = عدد الياردات المربعة x 9

• مثال:

  لنفترض أن لدينا قطعة قماش مستطيلة الشكل، طولها 15 قدمًا وعرضها 4 ياردات. لحساب مساحة هذه القطعة بالقدم المربع، يجب تحويل العرض إلى أقدام:

  العرض بالأقدام = 4 ياردات x 3 أقدام/ياردة = 12 قدمًا

  ثم نحسب المساحة:

  A = L x W = 15 قدمًا x 12 قدمًا = 180 قدمًا مربعًا

4. مساحة المثلث

المثلث هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا. لحساب مساحة المثلث، نضرب طول القاعدة في الارتفاع، ثم نقسم الناتج على 2.

• الصيغة الرياضية:

  A = (1/2) x B x H

  أو

  A = B x H / 2

  حيث:

  • A تمثل المساحة (Area).
  • B تمثل القاعدة (Base).
  • H تمثل الارتفاع (Height).
  • شرح المبدأ العلمي:
    يمكن تصور المثلث على أنه نصف مستطيل. إذا رسمنا مستطيلاً يحيط بالمثلث، بحيث تكون قاعدة المثلث هي طول المستطيل وارتفاع المثلث هو عرض المستطيل، فسنجد أن مساحة المثلث هي نصف مساحة المستطيل.
  • ملاحظة هامة:
    الارتفاع هو المسافة العمودية من القاعدة إلى الرأس المقابل لها. يجب أن يكون الارتفاع عموديًا على القاعدة (يشكل زاوية 90 درجة).
  • مثال تطبيقي:

  لنفترض أن لدينا مثلثًا طول قاعدته 8 سنتيمترات وارتفاعه 5 سنتيمترات. لحساب مساحة هذا المثلث، نستخدم الصيغة:

  A = (1/2) x B x H = (1/2) x 8 cm x 5 cm = 20 cm²

  إذن، مساحة المثلث هي 20 سنتيمترًا مربعًا.
  * تجربة بسيطة:

  1. ارسم مثلثًا على ورقة.
  2. ارسم مستطيلاً يحيط بالمثلث، بحيث تكون قاعدة المثلث هي طول المستطيل وارتفاع المثلث هو عرض المستطيل.
  3. قم بقياس مساحة المستطيل.
  4. قم بقياس مساحة المثلث باستخدام الصيغة.
  5. قارن بين مساحة المثلث ونصف مساحة المستطيل.

5. المثلث القائم الزاوية

المثلث القائم الزاوية هو مثلث تكون فيه إحدى الزوايا قائمة (قياسها 90 درجة). في المثلث القائم الزاوية، يمكن اعتبار الضلعين اللذين يشكلان الزاوية القائمة هما القاعدة والارتفاع.

• الصيغة الرياضية:
  نفس صيغة مساحة المثلث العادي:
  A = (1/2) x B x H
• مثال تطبيقي:
  لنفترض أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، طول أحد الضلعين القائمين فيه 6 أمتار وطول الضلع القائم الآخر 4 أمتار. لحساب مساحة هذا المثلث، نستخدم الصيغة:
  A = (1/2) x B x H = (1/2) x 6 m x 4 m = 12 m²
  إذن، مساحة المثلث هي 12 مترًا مربعًا.

6. حساب مساحات الأشكال المعقدة

لحساب مساحة شكل معقد، يمكن تقسيمه إلى أشكال هندسية بسيطة، مثل المستطيلات والمثلثات. ثم نحسب مساحة كل شكل بسيط على حدة، ثم نجمع المساحات للحصول على المساحة الإجمالية للشكل المعقد.

• مثال تطبيقي:
  لنفترض أن لدينا قطعة أرض على شكل حرف “L”. يمكن تقسيم هذه القطعة إلى مستطيلين. نحسب مساحة كل مستطيل على حدة، ثم نجمع المساحتين للحصول على المساحة الإجمالية للقطعة.

ملخص

في هذا الفصل، تعلمنا كيفية حساب مساحات المستطيلات والمثلثات، وكيفية استخدام الوحدات المناسبة والتحويل بينها. كما تعلمنا كيفية تقسيم الأشكال المعقدة إلى أشكال بسيطة لحساب مساحتها. هذه المهارات الأساسية ضرورية لفهم العديد من المفاهيم الهندسية والرياضية الأخرى، وتطبيقاتها واسعة النطاق في الحياة اليومية والهندسة.