حساب المساحات والأحجام: الأبعاد والوحدات والتحويلات

الفصل: حساب المساحات والأحجام: الأبعاد والوحدات والتحويلات

مقدمة:

في هذا الفصل، سنستكشف مفهومي المساحة والحجم، وهما أساسيان في العديد من المجالات الهندسية والعلمية والحياتية. سنتعرف على الأبعاد والوحدات المستخدمة لقياس المساحات والأحجام، وكيفية التحويل بين هذه الوحدات. سنناقش أيضًا بعض الأشكال الهندسية الشائعة وكيفية حساب مساحاتها وأحجامها.

أولاً: المساحة (Area)

المساحة هي مقياس لمدى تغطية سطح ثنائي الأبعاد. بمعنى آخر، هي كمية الفراغ الموجود داخل حدود شكل معين.

• الأبعاد: المساحة كمية ثنائية الأبعاد، أي أنها تتطلب بعدين لوصفها: الطول والعرض.
• الوحدات: تُقاس المساحة بوحدات مربعة، مثل:
  • البوصة المربعة (square inch, in²)
  • القدم المربع (square foot, ft²)
  • الياردة المربعة (square yard, yd²)
  • المتر المربع❓❓ (square meter, m²)
  • الكيلومتر المربع (square kilometer, km²)
  • الفدان (acre)

أ. مساحة المستطيل (Area of a Rectangle)

المستطيل هو شكل رباعي الأضلاع، حيث تكون جميع زواياه قائمة (90 درجة).

• الحساب: لحساب مساحة المستطيل، نضرب الطول في العرض.

  • الصيغة الرياضية: A = L × W
    • A: المساحة (Area)
    • L: الطول (Length)
    • W: العرض (Width)

• مثال: قطعة أرض مستطيلة الشكل طولها 100 قدم وعرضها 50 قدم. ما هي مساحة قطعة الأرض؟

  • الحل: A = 100 ft × 50 ft = 5000 ft² (قدم مربع).

ب. وحدات المساحة (Units of Area)

كما رأينا في المثال السابق، يتم التعبير عن المساحة بوحدات مربعة. الوحدة تعتمد على الوحدات المستخدمة لقياس أبعاد الشكل (الطول والعرض).

• الوحدات الشائعة:
  • البوصة المربعة (in²): مساحة مربع طول ضلعه بوصة واحدة.
  • القدم المربع (ft²): مساحة مربع طول ضلعه قدم واحد.
  • الياردة المربعة (yd²): مساحة مربع طول ضلعه ياردة واحدة.
  • الميل المربع (mi²): مساحة مربع طول ضلعه ميل واحد.
  • الفدان (acre): وحدة مساحة تساوي 43,560 قدم مربع.

ج. تحويل الوحدات (Converting Units)

عند حساب المساحات، من الضروري استخدام نفس وحدات القياس للتعبير عن جميع الأبعاد. إذا كانت الأبعاد بوحدات مختلفة، يجب تحويلها إلى وحدة مشتركة قبل الحساب.

• مثال: إذا كان لدينا مستطيل طوله بالأقدام وعرضه بالياردات، يجب تحويل أحد البعدين إلى الوحدة الأخرى.

• تحويل القدم المربع إلى الياردة المربعة: بما أن الياردة المربعة الواحدة تساوي 9 أقدام مربعة❓❓ (3 أقدام × 3 أقدام)، يمكننا تحويل القدم المربع إلى الياردة المربعة عن طريق القسمة على 9.

  • الصيغة الرياضية: square yards = square feet / 9

• تحويل الياردة المربعة إلى القدم المربع: يمكن تحويل الياردة المربعة إلى القدم المربع عن طريق الضرب في 9.

  • الصيغة الرياضية: square feet = square yards × 9

• مثال: مبنى مستطيل طوله 45 قدمًا وعرضه 7 ياردات. لحساب مساحة الأرضية، يجب أولاً تحويل أحد الأبعاد.

  • الخيار الأول: تحويل العرض إلى أقدام: 7 yd × 3 ft/yd = 21 ft
    • المساحة = 21 ft × 45 ft = 945 ft²
  • الخيار الثاني: تحويل الطول إلى ياردات: 45 ft ÷ 3 ft/yd = 15 yd
    • المساحة = 15 yd × 7 yd = 105 yd²
  • التحقق: 105 yd² × 9 ft²/yd² = 945 ft²

• الحالات الخاصة: في بعض الأحيان، تُعطى الأبعاد بمزيج من الوحدات، مثل 12 قدمًا و 4 بوصات (12‘4”). في هذه الحالة، يجب تحويل الجزء ذي الوحدة الأصغر إلى نفس وحدة الجزء الأكبر.

  • مثال: تحويل 12‘4” إلى أقدام: 4 in ÷ 12 in/ft = 0.33 ft
    • النتيجة: 12.33 ft
  • مثال: تحويل 12‘4” إلى بوصات: 12 ft × 12 in/ft = 144 in
    • النتيجة: 148 in

• تحويل البوصة المربعة إلى القدم المربع: القسمة على 144 (12 بوصة × 12 بوصة = 144 بوصة مربعة).

د. مساحة المثلث (Area of a Triangle)

المثلث هو شكل ثلاثي الأضلاع.

• الحساب: لحساب مساحة المثلث، نضرب القاعدة في الارتفاع ثم نقسم الناتج على 2 (أو نضرب في ½).

  • الصيغة الرياضية: A = ½ × B × H

    • A: المساحة (Area)
    • B: القاعدة (Base)
    • H: الارتفاع (Height)

  • ملاحظة هامة: الارتفاع هو المسافة العمودية من القاعدة إلى الرأس المقابل❓ (الزاوية المقابلة للقاعدة).

• مثال: مثلث قاعدته 14 قدمًا وارتفاعه 10 أقدام.

  • الحل: A = ½ × 14 ft × 10 ft = 70 ft²

• مثال: قطعة أرض مثلثة الشكل قاعدتها 150 قدمًا وارتفاعها 100 قدم.

  • الحل: A = ½ × 150 ft × 100 ft = 7500 ft²

• اعتبارات هامة: يجب أن تكون القاعدة والارتفاع بنفس وحدة القياس.

هـ. المثلث القائم الزاوية (Right Triangles)

المثلث القائم الزاوية هو مثلث تحتوي إحدى زواياه على زاوية قائمة (90 درجة).

• الحساب: في المثلث القائم الزاوية، يمكن استخدام طولي الضلعين اللذين يشكلان الزاوية القائمة كقاعدة وارتفاع.

  • الصيغة الرياضية: A = ½ × B × H (نفس صيغة المثلث العام)

• مثال: مثلث قائم الزاوية طول أحد ضلعي القائمة 12 قدمًا وطول الضلع الآخر 20 قدمًا.

  • الحل: A = ½ × 12 ft × 20 ft = 120 ft²

و. مساحات الأشكال المعقدة (Areas of Complex Figures)

لحساب مساحة شكل معقد، نقوم بتقسيم الشكل إلى أشكال هندسية بسيطة (مثل المستطيلات والمثلثات). ثم نحسب مساحة كل شكل بسيط على حدة، ثم نجمع المساحات للحصول على المساحة الكلية.

• مثال: قطعة أرض معقدة الشكل.

  1. التقسيم: نقسم قطعة الأرض إلى مستطيل ومربع ومثلث.
  2. الحساب: نحسب مساحة كل شكل على حدة.
     • المربع (S): 40 ft × 40 ft = 1600 ft²
     • المستطيل (R): 30 ft × 25 ft = 750 ft²
     • المثلث (T): (30 ft × 30 ft) / 2 = 450 ft²
  3. الجمع: نجمع المساحات: 1600 ft² + 750 ft² + 450 ft² = 2800 ft²

ثانياً: الحجم (Volume)

الحجم هو مقياس لحجم الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي يشغله أو يحتويه جسم ما.

• الأبعاد: الحجم كمية ثلاثية الأبعاد، أي أنها تتطلب ثلاثة أبعاد لوصفها: الطول والعرض والارتفاع.

• الوحدات: يُقاس الحجم بوحدات مكعبة، مثل:

  • البوصة المكعبة (cubic inch, in³)
  • القدم المكعب (cubic foot, ft³)
  • الياردة المكعبة (cubic yard, yd³)
  • المتر المكعب❓❓ (cubic meter, m³)
  • اللتر (Liter, L)
  • المليلتر (milliliter, mL)

• الحساب: يتم حساب الحجم عن طريق ضرب ثلاثة أبعاد. تمامًا كما يتم حساب المساحة بضرب بعدين للحصول على وحدات مربعة، يتم حساب الحجم بضرب ثلاثة أبعاد للحصول على وحدات مكعبة. على سبيل المثال، البوصة المكعبة هي حجم مكعب طول ضلعه بوصة واحدة، والقدم المكعب هو حجم مكعب طول ضلعه قدم واحد.

• مثال: غرفة طولها 15 قدمًا وعرضها 10 أقدام وارتفاعها 10 أقدام. ما هو حجم الغرفة؟

  • الحل: الحجم = 15 ft × 10 ft × 10 ft = 1500 ft³ (قدم مكعب).

• اعتبارات هامة: يجب أن تكون جميع الأبعاد بوحدات قياس متطابقة قبل حساب الحجم. إذا كانت الأبعاد بوحدات مختلفة، فيجب تحويلها إلى وحدة مشتركة قبل الحساب.

• التطبيقات العملية: قياسات الحجم مهمة في تقييم المستودعات، حيث يصبح السعر لكل وحدة مكعبة مهمًا لأن القياسات المكعبة تحدد القدرة التخزينية.

ثالثاً: المقلوب (Reciprocal)

• التعريف: مقلوب العدد هو 1 مقسومًا على هذا العدد. على سبيل المثال، مقلوب 2 هو 1 ÷ 2، أو ½ (0.5).
• الخاصية: المقاليب تأتي دائمًا في أزواج. إذا كان “A” هو مقلوب “B”، فإن “B” هو أيضًا مقلوب “A”.
• مثال: 0.5 هو مقلوب 2. إذن 2 هو مقلوب 0.5.

ملخص:

في هذا الفصل، تعرفنا على مفاهيم المساحة والحجم والأبعاد والوحدات المستخدمة في قياسها. تعلمنا أيضًا كيفية تحويل الوحدات بين الأنظمة المختلفة وكيفية حساب مساحات وأحجام بعض الأشكال الهندسية الشائعة. هذه المفاهيم ضرورية لفهم العديد من التطبيقات الهندسية والعلمية في العالم من حولنا.