المساحات والحجوم: حساب الأبعاد والتحويل بين الوحدات

الفصل: المساحات والحجوم: حساب الأبعاد والتحويل بين الوحدات

مقدمة

في هذا الفصل، سنتعمق في عالم المساحات والحجوم، وهما مفهومان أساسيان في الهندسة والعديد من التطبيقات العملية. سنتعلم كيفية حساب مساحات الأشكال ثنائية الأبعاد وحجوم الأجسام ثلاثية الأبعاد، بالإضافة إلى فهم الوحدات المختلفة المستخدمة وكيفية التحويل بينها. هذا الفصل يهدف إلى تزويد المهندس الصغير بالأدوات اللازمة لفهم العالم من حوله وقياسه بدقة.

أولاً: المساحات (Area)

المساحة هي قياس الحيز أو السطح الذي يشغله شكل❓❓ ثنائي الأبعاد. بعبارة أخرى، هي مقدار الفضاء الموجود داخل حدود الشكل. يتم التعبير عن المساحة بوحدات مربعة، مثل البوصة المربعة (in²)، القدم المربع (ft²)، المتر المربع (m²)، إلخ.

• وحدات المساحة الشائعة:

  • بوصة مربعة (in²): مساحة مربع طول ضلعه بوصة واحدة.
  • قدم مربع (ft²): مساحة مربع طول ضلعه قدم واحد (1 قدم = 12 بوصة).
  • ياردة مربعة (yd²): مساحة مربع طول ضلعه ياردة واحدة (1 ياردة = 3 أقدام).
  • ميل مربع (mi²): مساحة مربع طول ضلعه ميل واحد.
  • فدان (acre): وحدة مساحة تساوي 43,560 قدم مربع.

أ. مساحة المستطيل

المستطيل هو شكل رباعي الأضلاع تكون فيه جميع الزوايا قائمة (90 درجة). لحساب مساحة المستطيل، نضرب طوله في عرضه:

• الصيغة:

  A = L × W

  حيث:

  • A = المساحة
  • L = الطول
  • W = العرض

• مثال تطبيقي: قطعة أرض مستطيلة الشكل طولها 100 قدم وعرضها 50 قدم. ما هي مساحة قطعة الأرض؟

  • A = 100 ft × 50 ft = 5000 ft²

  إذن، مساحة قطعة الأرض هي 5000 قدم مربع.

• تجربة عملية: قم بقياس أبعاد غرفة مستطيلة الشكل في منزلك أو مدرستك. ثم، استخدم الصيغة أعلاه لحساب مساحة الغرفة.

ب. وحدات المساحة والتحويل بينها

عند حساب المساحات، من الضروري التأكد من أن جميع الأبعاد معبر عنها بنفس الوحدة. إذا كانت الأبعاد بوحدات مختلفة، يجب تحويلها إلى وحدة مشتركة قبل الحساب.

• تحويل القدم المربع إلى ياردة مربعة:

  بما أن 1 ياردة مربعة = 9 أقدام مربعة، فإن لتحويل القدم المربع إلى ياردة مربعة، نقسم على 9.

  Square Yards = Square Feet / 9

• تحويل الياردة المربعة إلى قدم مربعة:

  لتحويل الياردة المربعة إلى قدم مربعة، نضرب في 9.

  Square Feet = Square Yards × 9

• مثال تطبيقي: مبنى مستطيل الشكل طوله 45 قدمًا وعرضه 7 ياردات. لحساب مساحة أرضية المبنى، يجب أولاً تحويل أحد الأبعاد.

  • الخيار الأول: تحويل العرض إلى أقدام:

    7 yards × 3 ft/yard = 21 ft

    ثم، A = 45 ft × 21 ft = 945 ft²

  • الخيار الثاني: تحويل الطول إلى ياردات:

    45 ft ÷ 3 ft/yard = 15 yards

    ثم، A = 15 yards × 7 yards = 105 yd²

  لاحظ أن النتيجة مختلفة ظاهريًا، ولكنها متساوية في الواقع، لأن 105 yd² × 9 ft²/yd² = 945 ft².

• مثال على تحويل الأبعاد المختلطة: كيف تحول 12 قدمًا و 4 بوصات (12‘4”) إلى وحدة واحدة؟

  • تحويل إلى أقدام: 4 بوصات ÷ 12 بوصة/قدم = 0.33 قدم. ثم، 12 قدم + 0.33 قدم = 12.33 قدم.
  • تحويل إلى بوصات: 12 قدم × 12 بوصة/قدم = 144 بوصة. ثم، 144 بوصة + 4 بوصات = 148 بوصة.

• تحويل البوصة المربعة إلى قدم مربعة: نقسم على 144 (12 بوصة × 12 بوصة = 144 بوصة مربعة).

ج. مساحة المثلث

المثلث هو شكل ثلاثي الأضلاع. لحساب مساحة المثلث، نحتاج إلى معرفة طول القاعدة والارتفاع. القاعدة هي أي ضلع من أضلاع المثلث، والارتفاع هو المسافة العمودية من القاعدة إلى الرأس المقابل.

• الصيغة:

  A = 1/2 × B × H

  حيث:

  • A = المساحة
  • B = طول القاعدة
  • H = الارتفاع

• مثال تطبيقي: مثلث طول قاعدته 14 قدمًا وارتفاعه 10 أقدام. ما هي مساحة المثلث؟

  • A = 1/2 × 14 ft × 10 ft = 70 ft²

  إذن، مساحة المثلث هي 70 قدم مربع.

• تجربة عملية: ارسم مثلثًا على قطعة من الورق. قم بقياس طول قاعدته وارتفاعه. ثم، استخدم الصيغة أعلاه لحساب مساحة المثلث.

د. المثلث القائم الزاوية

المثلث القائم الزاوية هو مثلث تكون فيه إحدى الزوايا قائمة (90 درجة). لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية، يمكننا استخدام طولي الضلعين اللذين يشكلان الزاوية القائمة كقاعدة وارتفاع.

• الصيغة: نفس صيغة مساحة المثلث العادي.

• مثال تطبيقي: مثلث قائم الزاوية طول أحد الضلعين القائمين 12 قدمًا وطول الضلع القائم الآخر 20 قدمًا. ما هي مساحة المثلث؟

  • A = 1/2 × 12 ft × 20 ft = 120 ft²

  إذن، مساحة المثلث هي 120 قدم مربع.

هـ. مساحات الأشكال المعقدة

لحساب مساحة شكل معقد، نقوم بتقسيم الشكل إلى أشكال أبسط، مثل المستطيلات والمثلثات. ثم، نحسب مساحة كل شكل بسيط على حدة، ونجمع المساحات للحصول على المساحة الكلية للشكل المعقد.

• مثال تطبيقي: شكل يتكون من مربع ومستطيل ومثلث.

  • مساحة المربع (S): 40 قدم × 40 قدم = 1600 قدم مربع.
  • مساحة المستطيل (R): 30 قدم × 25 قدم = 750 قدم مربع.
  • مساحة المثلث (T): 30 قدم × 30 قدم = 900 قدم مربع ÷ 2 = 450 قدم مربع.
  • المساحة الكلية = 1600 قدم مربع + 750 قدم مربع + 450 قدم مربع = 2800 قدم مربع.

ثانياً: الحجوم (Volume)

الحجم هو قياس الحيز أو الفضاء الذي يشغله جسم ثلاثي الأبعاد. بعبارة أخرى، هو مقدار الفضاء الموجود داخل حدود الجسم. يتم التعبير عن الحجم بوحدات مكعبة، مثل البوصة المكعبة (in³)، القدم المكعب (ft³)، المتر المكعب (m³)، إلخ.

• وحدات الحجم الشائعة:

  • بوصة مكعبة (in³): حجم مكعب طول ضلعه بوصة واحدة.
  • قدم مكعب (ft³): حجم مكعب طول ضلعه قدم واحد.
  • متر مكعب (m³): حجم مكعب طول ضلعه متر واحد.

• مبدأ هام: كما هو الحال مع المساحات، يجب أن تكون جميع الأبعاد معبر عنها بنفس الوحدة قبل حساب الحجم.

مثال تطبيقي: غرفة طولها 15 قدمًا وعرضها 10 أقدام وارتفاعها 10 أقدام. ما هو حجم الغرفة؟

• الصيغة (حجم متوازي المستطيلات):

  V = L × W × H

  حيث:

  • V = الحجم
  • L = الطول
  • W = العرض
  • H = الارتفاع

• الحساب:

  V = 15 ft × 10 ft × 10 ft = 1500 ft³

  إذن، حجم الغرفة هو 1500 قدم مكعب.

• أهمية الحسابات المكعبة: تُعد القياسات المكعبة مهمة في تقييم المستودعات، حيث يصبح السعر لكل وحدة مكعبة مهمًا لأن القياسات المكعبة تحدد قدرة التخزين.

ثالثاً: المقلوب (Reciprocal)

مقلوب العدد يساوي 1 مقسومًا على العدد. على سبيل المثال، مقلوب 2 يساوي 1 ÷ 2، أو ½ (0.5). دائمًا ما تأتي المعكوسات في أزواج. إذا كان “A” هو مقلوب “B”، فإن “B” هو أيضًا مقلوب “A”.

• مثال: 0.5 هو مقلوب 2. لذا 2 هو مقلوب 0.5.

ملخص

في هذا الفصل، تعلمنا كيفية حساب المساحات والحجوم للأشكال والأجسام المختلفة. فهمنا أهمية استخدام نفس الوحدات لجميع الأبعاد قبل الحساب، وكيفية التحويل بين الوحدات المختلفة. كما تعلمنا عن مفهوم المقلوب. هذه المهارات الأساسية ستساعد المهندس الصغير على فهم العالم من حوله بشكل أفضل وتطبيق هذه المفاهيم في العديد من التطبيقات العملية.